Question

Помогите решить неравенство m2+n2+1>=m+n+mn

Answer 1

Учитывая, что cумма квадратов трех чисел неотрицательна, то для ЛЮБЫХ $m,n$ cправедливо неравенство:

$(m-1)^2+(n-1)^2+(m-n)^2\geq0\\ m^2-2n+1+n^2-2n+1+m^2-2mn+n^2\geq 0\\2m^2+2n^2+2\geq 2m+2n+2mn\\m^2+n^2+1\geq m+n+ mn$

Равенство наступает при $n=m=1$.

Как видим, неравенство верно при ВСЕХ $m$ и $n$