Question

Найдите наименьшее n > 2016 такое, что

1^n + 2^n + 3^n + 4^n не кратно 10.​

Answer 1

Ответ:

2020

Пошаговое объяснение:

$1^n$ и $3^n$ нечетны, а значит их сумма четна. Тогда $1^n+2^n+3^n+4^n$ четно, т.е. кратно 2.

$1^n + 2^n + 3^n + 4^n=1^n + 2^n + (5-2)^n + (5-1)^n\equiv 1^n + 2^n + (-2)^n + (-1)^n(mod\; 5)$

Если n нечетно, то $1^n + 2^n + (-2)^n + (-1)^n=1^n + 2^n -2^n -1^n=0$ - а значит $1^n+2^n+3^n+4^n$ делится на 5 => для нечетных n

Иначе: $n=2k=>1^n+2^n+3^n+4^n=1^k + 4^k + 9^k + 16^k\equiv 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k (mod\; 10)$

Если k нечетно, $1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k= 1^k + 4^k -1^k -4^k =0$ - а значит $1^n+2^n+3^n+4^n$ делится на 10.

Иначе $k=2l=> 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k =1^l + 16^l + 1^l +16^l=2+2*16^l\equiv 2+2*6^l(mod\; 10)\equiv\left [6^l\equiv 6(mod\; 10)\right ] \equiv2+2*6(mod\; 10)=14\equiv 4(mod\; 10)$ - а значит для четного k $1^n+2^n+3^n+4^n$ не делится на 10.

$n=4l>2016=>l>504=>l_{min}=505=>n_{min}=4*505=2020$