Question

Есть 3 многочлена. Пусть P(x), Q(x), L(x). Q(x) не равен L(x). требуется доказать, что P(Q(x))-P(L(x)) делится на Q(x)-L(x).

Answer 1

Пусть $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$

Тогда:

$P(Q(x))-P(L(x))=a_nQ^n(x)+a_{n-1}Q^{n-1}(x)+...+a_0-(a_nL^n(x)+a_{n-1}L^{n-1}(x)+...+a_0)=a_n(Q^n(x)-L^n(x))+a_{n-1}(Q^{n-1}(x)-L^{n-1}(x))+...+a_1(Q(x)-L(x))$

Отметим, что $\forall n\in N \;\;(a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$. И правда: $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})=a^n-a^{n-1}b+a^{n-1}b-a^{n-2}b^2+a^{n-2}b^2+...-ab^{n-1}+ab^{n-1}-b^n=a^n-b^n$

А тогда

$(Q^n(x)-L^n(x))\;\vdots\;(Q(x)-L(x)), (Q^{n-1}(x)-L^{n-1}(x))\;\vdots\;(Q(x)-L(x))\;,...\;(Q(x)-L(x))\;\vdots\;(Q(x)-L(x))=>(P(Q(x))-P(L(x)))=(a_n(Q^n(x)-L^n(x))+a_{n-1}(Q^{n-1}(x)-L^{n-1}(x))+...+a_1(Q(x)-L(x)))\;\vdots\;(Q(x)-L(x))$

Ч.т.д.