Question

Решить систему уравнений на множестве комплексных чисел.

Answer 1

Положим $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$. Подставляем в каждое уравнение и упростим уравнения до максимума.

$(3-i)(x_1+iy_1)+(4+2i)(x_2+iy_2)=1+3i\\ 3x_1+3iy_1-ix_1+y_1+4x_2+4iy_2+2ix_2-2y_2=1+3i\\ 3x_1+y_1+4x_2-2y_2+(3y_1-x_1+4y_2+2x_2)i=1+3i$

$(4+2i)(x_1+iy_1)-(2+3i)(x_2+iy_2)=7\\4x_1+4iy_1+2ix_1-2y_1-2x_2-2iy_2-3ix_2+3y_2=7\\ 4x_1-2y_1-2x_2+3y_2+(4y_1+2x_1-2y_2-3x_2)i=7$

Приравниваем действительные и мнимые части

$\begin{cases} & \text{ } 3x_1+y_1+4x_2-2y_2=1 \\ & \text{ } 3y_1-x_1+4y_2+2x_2=3 \\ & \text{ } 4x_1-2y_1-2x_2+3y_2=7 \\ & \text{ } 2x_1+4y_1-3x_2-2y_2=0 \end{cases}~~\Rightarrow~~\begin{cases} & \text{ } x_1=1 \\ & \text{ } y_1=0 \\ & \text{ } x_2=0 \\ & \text{ } y_2=1 \end{cases}$

Получаем решение системы $z_1=1$ и $z_2=i.$