Question

Знайдіть зовнішній кут при вершині С трикутника ABC якщо відомі координати трьох його вершин А(1; -2; -1), В(-1; 2; -1), С(-1; -2; -3)

Answer 1

Найдите внешний угол при вершине С треугольника ABC, если известны координаты трех его вершин А(1; -2; -1), В(-1; 2; -1), С(-1; -2; -3)

Объяснение:

Найдем ∠АСВ  .Тогда внешний угол α=180°-∠АСВ. Угол найдем  через скалярное произведение векторов :     cos(∠ACB)=$\frac{CB*CA}{|CB|*|CA|}$ .

Найдем координаты и длину векторов  $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$

$\vec{CB}$(0;4;2)   , $|\vec{CB}|=\sqrt{(0+4^{2} +2^2)} =$ √20,

$\vec{CA}$(2;0;2)   , $|\vec{CA}|=\sqrt{(2^2+0^{2} +2^2}) =$ √8 .

cos(∠ACB)=$\frac{0*2+4*0+2*2}{\sqrt{20}*\sqrt{8} }$ =  $\frac{4}{ \sqrt{160} }$ = $\frac{1}{\sqrt{10} }$   ⇒  ∠ACB=  arccos $\frac{1}{\sqrt{10} }$ .

Внешний угол α=180°-∠АСВ=180°-arccos $\frac{1}{\sqrt{10} }$ .