Ответы
Ответ:
Задача 1. Решить систему:
x + y +
x
y
= 9,
(x + y)x
y
= 20.
Решение. Делаем замену u = x + y, v =
x
y
и приходим к системе
(
u + v = 9,
uv = 20,
из которой легко находим u = 5, v = 4 или u = 4, v = 5 (здесь и далее подробности в простых
ситуациях опускаются). В первом случае получаем систему
x + y = 5,
x
y
= 4,
решением которой служит пара x = 4, y = 1. Во втором случае имеем систему
x + y = 4,
x
y
= 5,
1
из которой x =
10
3
, y =
2
3
.
Ответ: (4, 1);
10
3
,
2
3
.
Задача 2. (МФТИ, 2007 ) Решить систему уравнений
(
xy + 2x − 3y + 2 = 0,
2x
2
y − 3xy2 − 12x + 18y = 16.
Решение. Запишем второе уравнение в виде
xy(2x − 3y) − 6(2x − 3y) = 16
и сделаем двойную замену
u = xy, v = 2x − 3y.
Система примет вид:
(
u + v + 2 = 0,
uv − 6v = 16.
Легко находим: u = 2, v = −4, что приводит к системе
(
xy = 2,
2x − 3y = −4.
Эта система также не представляет сложностей. Её решения: x = 1, y = 2 или x = −3, y = −
2
3
.
Ответ: (1, 2);
−3, −
2
3
.
2 Симметрические системы
Функция f(x, y) двух переменных x и y называется симметрической, если f(y, x) = f(x, y);
иными словами, симметрическая функция переходит сама в себя при одновременной замене x
на y и y на x. Например, f(x, y) = x
2 + 3xy + y
2 — симметрическая функция, а g(x, y) = x
3 + y
симметрической не является, поскольку g(y, x) = y
3 + x 6= g(x, y).
Система
(
f(x, y) = 0,
g(x, y) = 0
называется симметрической, если f(x, y) и g(x, y) — симметрические многочлены. В симметрических системах отлично работает двойная замена
u = x + y, v = xy. (1)
Задача 3. («Покори Воробьёвы горы!», 2010 ) Решите систему уравнений
(
x
2
y + xy2 = 2 − 2x − 2y,
x + y + 5 = −xy.
Решение. Имеем:
(
xy(x + y) + 2(x + y) = 2,
x + y + xy = −5,
или, делая замену (1),
(
uv + 2u = 2,
u + v = −5.
Из второго уравнения выражаем v = −u − 5 и подставляем это в первое уравнение; после
преобразований получим
u
2 + 3u + 2 = 0; u1 = −1, u2 = −2.
Соответственно, v1 = −4, v2 = −3, так что исходная система равносильна совокупности двух
систем:
(
x + y = −1,
xy = −4
или (
x + y = −2,
xy = −3.
Обе они решаются элементарно.
Ответ:
−1+√
17
2
,
−1−
√
17
2
;
−1−
√
17
2
,
−1+√
17
2
; (1, −3); (−3, 1).
Оказывается, что любой симметрический многочлен двух переменных x, y можно записать
как многочлен двух переменных u, v. Это теорема, которую мы не будем доказывать; нам важно
уметь выражать через u и v многочлены x
2 + y
2
, x
3 + y
3 и x
4 + y
4
.
Имеем:
u
2 = (x + y)
2 = x
2 + 2xy + y
2 = x
2 + y
2 + 2v,
откуда
x
2 + y
2 = u
2 − 2v.
Далее,
u
3 = (x + y)
3 = x
3 + 3x
2
y + 3xy2 + y
3 = x
3 + y
3 + 3xy(x + y) = x
3 + y
3 + 3uv,
откуда
x
3 + y
3 = u
3 − 3uv.
Наконец,
u
4 = (x + y)
4 = x
4 + 4x
3
y + 6x
2
y
2 + 4xy3 + y
4 =
= x
4 + y
4 + 4xy(x
2 + y
2
) + 6x
2
y
2 = x
4 + y
4 + 4v(u
2 − 2v) + 6v
2
,
откуда
x
4 + y
4 = u
4 − 4u
2
v + 2v
2
.
Задача 4. Решить систему
(
x
3 + y
3 = 19,
(xy + 8)(x + y) = 2.
Решение. Легко видеть, что эта система является симметрической. Делая замену u = x + y,
v = xy, получим систему
(
u
3 − 3uv = 19,
u(v + 8) = 2.
Из второго уравнения выражаем uv = 2 − 8u и подставляем в первое уравнение:
u
3 − 3(2 − 8u) = 19 ⇔ u
3 + 24u − 25 = 0.
3
Очевиден корень u = 1, что позволяет разложить левую часть на множители:
(u − 1)(u
2 + u + 25) = 0 ⇔ u = 1.
Далее находим v = −6 и приходим к системе
(
x + y = 1,
xy = −6,
откуда x = 3, y = −2 или наоборот, x = −2, y = 3.
Ответ: (3, −2); (−2, 3).
Обратите внимание, что у симметрической системы и ответ симметричен: если пара (x0, y0)
является решением, то и пара (y0, x0) — тоже решение.
3 Сложение уравнений
Одно из уравнений системы можно заменить на сумму (или разность) её уравнений. В результате получим систему, эквивалентную исходной.
Задача 5. Решить систему
(
x
3 + y
3 = 7,
x
2
y + xy2 = −2.
Решение. Эту симметрическую систему можно решить общим методом, изложенным выше.
Но можно и сразу сложить первое уравнение с утроенным вторым:
x
3 + 3x
2
y + 3xy2 + y
3 = 1 ⇔ (x + y)
3 = 1 ⇔ x + y = 1.
Отсюда y = 1 − x; подставляем это в первое уравнение системы:
x
3 − (x − 1)3 = 7 ⇔ x
3 − (x
3 − 3x
2 + 3x − 1) = 7 ⇔ x
2 − x − 2 = 0.
Дальше ясно.
Ответ: (−1, 2); (2, −1)
Задача 6. (МГУ, филологич. ф-т, 2007 ) Решите систему
(
2x
2 − x − 3y = 0,
2y
2 + y + 3x = 0.
(2)
Решение. Вычитаем из первого уравнения второе:
0 = 2(x
2 − y
2
) − 4(x + y) = 2(x + y)(x − y − 2).
Если y = −x, то первое уравнение системы (2) даёт 2x
2 + 2x = 0, откуда x = 0 (и тогда
y = 0) или x = −1 (и тогда y = 1).
Если же y = x − 2, то перие: