Question

Пусть x, y, z > 0. Докажите неравенство
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥9

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9\\\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\geq 9\\3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 9$

Известно, что для положительных чисел a верно неравенство $a+\frac{1}{a}\geq 2$. Тогда

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\\\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geq 2\\\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 2$

Складывая эти неравенства получаем:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 6$

$3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 9$

Доказано.

Answer 2

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для 3 положительных чисел а, в, с: (а+в+с)/3≥³√(авс) => (а+в+с)≥3*(³√(авс))

А тогда (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥3(³√(xyz))(1/x+1/y+1/z)≥3(³√(xyz))*3(³√((1/x)(1/y)(1/z)))=9(³√(xyz))/(³√(xyz))=9*1=9

Ч.т.д.

___________

(³√m) - кубический корень из числа m