Question

неопределенный интеграл​

Answer 1

Ответ:

$-\frac{2}{3} cos^{\frac{2}{3}}(x)+const$

Объяснение:

$\int\ {sin(x)*\sqrt{cos(x)} } \, dx =\int\ {-(cos(x))'*\sqrt{cos(x)} } \, dx=-\int\ {\sqrt{cos(x)}*(cos(x))' } \, dx$

По формуле $\int {f(x)g'(x)} \, dx =\int {f(x)} \, d(g(x))$

$-\int\ {\sqrt{cos(x)}*(cos(x))' } \, dx=-\int\ {\sqrt{cos(x)} } \, d(cos(x))$

Пусть теперь $t = cos(x)$,  тогда

$-\int\ {\sqrt{cos(x)} } \, d(cos(x))=-\int\ {\sqrt{t} } \, dt=-\int\ {t^н } \, dt=-\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3}}+const$

По формуле интеграла степенной функции: $\int {x^a} \, dx =\frac{x^a^+^1}{a+1} +const$

$-\int\ {t^н } \, dt=-\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+const$

Учитывая нашу замену, запишем:

$-\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+const=-\frac{2}{3} cos(x)^{\frac{3}{2}}+const=-\frac{2}{3} cos^{\frac{3}{2}}(x)+const$

Answer 2

$\displaystyle\\\int \sin(x)*\sqrt{\cos{x}}\ dx = \{t=\cos(x)\ \ dt=-\frac{1}{\sin(x)} \}\Rightarrow \int \sin(x)*\sqrt{\cos(x)}dx=\\\\\\=\int \sin(x)*\sqrt{\cos(x)}*\bigg(-\frac{1}{\sin(x)}\bigg)dt=\int-\sqrt{\cos(x)}dt=\int-\sqrt{t}\ dt=\\\\\\=-\frac{2t\sqrt{t}}{3}=\{t=\cos(x)\}=-\frac{2\cos(x)\sqrt{\cos(x)}}{3}+C$