Question

Найдите сумму степени и свободного члена многочлена
${(3 {x}^{7} + 6 {x}^{4} - 1) }^{12} {(5 {x}^{2} + 2)}^{3}$
​

Answer 1

Для решения запишем формулу бинома Ньютона:

$(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+...+b^n$

Если а - слагаемое, содержащее неизвестную в наибольшей степени, то для определения степени результата нужно рассмотреть выражение $a^n$.

Если b - слагаемое, не содержащее неизвестную, то для определения свободного члена результата нужно рассмотреть выражение $b^n$.

Рассмотрим многочлен $S(x)=P(x)\cdot Q(x)$, где:

$P(x)=(3x^7+6x^4-1)^{12}$

$Q(x)=(5x^2+2)^3$

Для определения степени и свободного члена произведения достаточно знать степень и свободный член каждого из множителей.

Для многочлена $P(x)=(3x^7+6x^4-1)^{12}$:

- степень определяется выражением $(3x^7)^{12}=3^{12}\cdot x^{7\cdot12}=3^{12}\cdot x^{84}$, то есть степень равна 84

- свободный член равен $(-1)^{12}=1$

Для многочлена $Q(x)=(5x^2+2)^3$:

- степень определяется выражением $(5x^2)^3=5^3\cdot x^{2\cdot3}=125\cdot x^6$, то есть степень равна 6

- свободный член равен $2^3=8$

Наконец, для многочлена $S(x)=P(x)\cdot Q(x)$ получим:

- степень определяется выражением $x^{84}\cdot x^6=x^{84+6}=x^{90}$, то есть степень равна 90

- свободный член равен $1\cdot8=8$

Сумма степени и свободного члена многочлена $S(x)$:

$90+8=98$

Ответ: 98