Question

2x1-x2+3x3=-4, x1+3x2-x3=11, x1-2x2+2x3=-7 нужно решить с помощью обратной матрицы (итоговая формула Х=А^-1×В)​

Answer 1

$\displaystyle\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=-4\\x_1+3x_2-x_3=11\\x_1-2x_2+2x_3=-7\end{cases}\\A=\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&3&-1\\1&-2&2\end{array}\right] ;B=\left[\begin{array}{c}-4\\11\\-7\end{array}\right]$

Находим обратную матрицу с помощью расширенной:

$\left[\begin{array}{ccccccccc}2&-1&3&|&1&0&0&|&:2\\1&3&-1&|&0&1&0&|&\\1&-2&2&|&0&0&1&|&\end{array}\right]\to\\\to\left[\begin{array}{ccccccccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0&0&|&\downarrow\\1&3&-1&|&0&1&0&|&*(-1)\\1&-2&2&|&0&0&1&|&*(-1)\end{array}\right]\to\\\to\left[\begin{array}{ccccccccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0&0&|&\\0&\frac{7}{2}&-\frac{5}{2}&|&-\frac{1}{2}&1&0&|&*\frac{2}{7}\\0&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&|&-\frac{1}{2}&0&1&|&\end{array}\right]\to$

$\to\left[\begin{array}{ccccccccc}1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0&0&|&*\frac{1}{2}\\0&1&-\frac{5}{7}&|&-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}&0&|&\updownarrow\\0&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&|&-\frac{1}{2}&0&1&|&*\frac{3}{2}\end{array}\right]\to\\\to\left[\begin{array}{ccccccccc}1&0&\frac{8}{7}&|&\frac{3}{7}&\frac{1}{7}&0&|&\\0&1&-\frac{5}{7}&|&-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}&0&|&\\0&0&-\frac{4}{7}&|&-\frac{5}{7}&\frac{3}{7}&1&|&*(-\frac{7}{4})\end{array}\right]\to$

$\left[\begin{array}{ccccccccc}1&0&\frac{8}{7}&|&\frac{3}{7}&\frac{1}{7}&0&|&*(-\frac{8}{7})\\0&1&-\frac{5}{7}&|&-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}&0&|&*\frac{5}{7}\\0&0&1&|&\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}&|&\uparrow\end{array}\right]\to\\\to\left[\begin{array}{ccccccccc}1&0&0&|&-1&1&2&|&\\0&1&0&|&\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{5}{4}&|&\\0&0&1&|&\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}&|&\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}-4&4&8\\3&-1&-5\\5&-3&-7\end{array}\right]\\X=A^{-1}B\\X=\frac{1}{4}*\left[\begin{array}{ccc}-4&4&8\\3&-1&-5\\5&-3&-7\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c}-4\\11\\-7\end{array}\right]=\frac{1}{4}*\left[\begin{array}{c}16+44-56\\-12-11+35\\-20-33+49\end{array}\right]=\\=\frac{1}{4}*\left[\begin{array}{c}4\\12\\-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\3\\-1\end{array}\right]$