Дети загадали натуральное число и произнесли следующие девять фраз: «Число делится на 2», «Число делится на 3, но не делится на 2», «Число делится на 4, но не делится на 3», . . . , «Число делится на 10, но не делится на 9». Какое наибольшее количество фраз могут быть верными одновременно?
Ответы
Ответ: 4
Пошаговое объяснение:
Заметим, что если верно утверждение: N делиться на a, но не делиться на a-1, то утверждение N делиться на a-1 , но делиться на a-2 неверно. Также неверно и утверждение: N делиться на a+1, но не делиться на a. Пусть среди данных 9-то фраз ровно n верных, причём первая фраза верна, а последняя неверна. Тогда учитывая, что считая с первой верной фразы, следующая за ней обязательно неверна, а поскольку мы смотрим последовательно и в одном направлении, то общие фразы с предыдущими не будут попадаться. Тогда общее число неверных фраз не менее чем n. Иначе говоря , общее число фраз равно не менее чем 2n. Всего у нас 9 фраз, значит n=5 и более фраз быть не может .Аналогично,
если верна последняя фраза, но при этом неверна первая( идём снизу вверх). Пусть верны и первая и последняя фраза, тогда число неверных фраз как минимум n-1, тогда общее число фраз как минимум 2n-1. Как было показано ранее, если число фраз 2n и более, то число верных фраз будет не более 4. Пусть число верных фраз 2n-1, тогда 2n-1=9 , n=5 верных фраз. Если неверна ни первая ни последняя фраза, то число неверных фраз как минимум n+1, что опять говорит о не более чем четырёх верных фразах. Как видим, из первоначального анализа , число фраз не может быть более 5. Проверим теперь, возможен ли такой вариант. Как было отмечено ранее , в данном случае и первое и последнее утверждение верны. А значит, число N делиться 2, и 10, но при этом не делиться на 9. А значит делиться на 10,2,5 , но при этом не делиться на 3,6,9. Далее буду писать сокращённо верные и неверные утверждения в виде + и -:
2+
3,2-
4,3 может быть верно, если число делиться и на 4.(+,-)
5,4 + , если 4,3 неверно, - если верно.
6,5-
7,6 (+,-)
8,7 . Если считать, что число делиться на 8 и предыдущее утверждение неверно, то +, иначе -. При этом неверное утверждение 4,3 также минусует данное.
9,8 -
10,9+
Как видим 100% верных утверждений 2, при этом среди утверждений: 4,3 и 5,4 верно только одно, как и среди 7,6 и 8,7 . То есть число верных утверждений не более чем 4. То есть вариант с 5 утверждениями не проходит.