Question

Даны точки: A(1;-1;-3) B(2;0;-2) C(3;5:0) D(-4;4;1)
1) Найти скалярное произведение векторов: AC*BD
2) Вычислить SтреуголABC-? , зная что Sтреугол = 1/2Sпар-ма.
нужно найти вектора АB и АС. далее вектор c=ACxAB= составить определитель.
3) найти син и кос A в треугол ABC и проверить вычисления.

Answer 1

1) найдем координаты векторов →АС и →BD, для чего от координат конца вектора отнимем координаты начала,  а затем найдем скалярное произведение векторов: →AC*→BD. для чего перемножим соответствующие координаты и найдем сумму этих произведений.

→АС(3-1;5+1;0+3); →АС(2; 6; 3);

→BD(-4-2;4-0;1+2); →BD(-6;4;3);

→AC*→BD=2*(-6)+6*4+3*3=-12+24+9=21

2) →AB(1;1;1)

нужно векторное произведение векторов →АВх→АС, т.е.

найти определитель, в первой строке которого векторы →i   →j  →k

во второй координаты вектора →АВ, в третьей  координаты вектора →АС.  Затем найти модуль этого определителя и поделить его на два. Это и будет искомая площадь треугольника АВС.

→i   →j  →k

1      1     1

2     6     3=

→i * (3-6) -→j *(3-2) +→k*(6-2)=(-3)*(→i ) -(→j )+4*( →k)=→(-3; -1; 4)

Длина вектора →АВх→АС, или его модуль равен √(9+1+16)=√26

Площадь параллелограмма, построенного на векторах →АВ и →АС, равна √26, а площадь треугольника АВС  в два раза меньше, т.е. √26/2=0.5√26.

3) ВС =√(1+25+4)=√30; АВ=√(1+1+1)=√3; АС=√(2²+6²+3²)=√(4+36+9)=7; По теореме косинусов

ВС²=АВ²+АС²-2АВ*АС*сos∠A⇒сos∠A=(30-3-49)/(-2*√3*7)=-22/(-14√3)=

11/(7*√3)=11√3/21;  sin∠A=√(1-121/147)=√26/(7√3)=√78/21

Площадь треугольника равна

(АВ*АС*sin∠A)/2=((√3*7)(√78/21))/2=√26/2

Ответы совпадают ⇒ решение верное.