Question

Какая фигура будет границей множества решений неравенства: x2 + 8x + 25 + 2y2 ≤ y2 – 6y + 4 + 16x?

Answer 1

Преобразуем неравенство:

$x^2+8x+25+2y^2\leq y^2-6y+4+16x\\\\x^2+\underline{8x}+25+\underline{\underline{2y^2-y^2}}+6y-\underline{16x}\leq 4\\\\x^2-8x+25+y^2+6y\leq4\\\\\left(x^2-2\cdot x\cdot 4+16\right)+\left(y^2+2\cdot y\cdot 3+9\right)\leq4\\\\\boxed{\boldsymbol{\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2\leq2^2}}$

Получили выражение, похожее на уравнение окружности:

$\left(x-x_c\right)^2+\left(y-y_c\right)^2=R^2$,

где  $\left(x_c;\ y_c\right)$  -  координаты центра окружности,

$R$  -  радиус окружности.

Значит, границей множества решений будет окружность с центром в точке с координатами  (4; -3)  и радиусом 2.

Ответ: окружность.