Question

Найти оценку для данного интеграла. ​

Answer 1

Ответ:

От -0,54 до 0,54

Объяснение:

$\int\limits^4_1 {x^{3}sinx } \, dx$

$u = x^{3}\\dv = sinxdx\\v = (-cosx)\\du = 3x^{2} dx$

$x^{3} * (-cosx) - \int\limits^4_1 {-cosx3x^{2} } \, dx$$= x^{3}*(-cosx) + 3\int\limits^4_1 {x^{2} cosx} \, dx$

$u = x^{2} \\dv = cosxdx\\v = sinx\\du = 2x$

$x^{3}*(-cosx) + 3 (x^{2} sinx - 2\int\limits^4_1 {xsinx} \, dx )$

$u = x\\dv = sinxdx\\v = (-cosx)\\du = dx$

$x^{3} *(-cosx) + 3(x^{2} sinx - 2x*(-cosx) + \int\limits^4_1 {cosx} \, dx )$$= x^{3} *(-cosx) + 3(x^{2} sinx - 2x((-cosx)+sinx))$$=-x^{3}cosx + 3x^{2} sinx + 6xcosx - 6sinx$

значение синуса и косинуса лежит в промежутке [-1; 1]

$m(a-b) \leq \int\limits^a_b {x} \, dx \leq M(a-b)$

Найдем m путем подстановки вместо x значения -1:

$-(-1)^{3} *cos(-1) + 3*(-1)^{2} *sin(-1) + 6*(-1)*cos(-1) - 6*sin(-1)$$= 0.54 + 3 * (-0.84) - 6 * 0.54 + 6 * 0.84 = -0.18$

Найдем M путем подстановки вместо x значения 1:

$-1^{3}cos1 + 3*1^{2} sin1 + 6*1cos1 - 6sin1 = -1 * 0,54 + 3 *0,84 + 6*0,54 - 6*0,84 = 0,18$

Теперь подставим максимальные и минимальные значения интеграла:

$-0.18*3\leq \int\limits^4_1 {x^{3}sinx } \, dx \leq 0.18*3$

$-0.54\leq \int\limits^4_1 {x^{3}sinx } \, dx \leq 0.54$