Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= 3 sin x cos x +1. Подробно

Answer 1

$y= 3\sin x\cos x +1$

Преобразуем выражение следующим образом:

$y= \dfrac{3}{2}\cdot2 \sin x\cos x +1$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$y= \dfrac{3}{2}\sin 2x+1$

Зная, что синус принимает значения из отрезка от -1 до 1, оценим заданное выражение:

$-1\leq \sin 2x\leq 1$

$\dfrac{3}{2}\cdot(-1)\leq \dfrac{3}{2}\cdot\sin 2x\leq \dfrac{3}{2}\cdot1$

$-\dfrac{3}{2}\leq \dfrac{3}{2}\sin 2x\leq \dfrac{3}{2}$

$-\dfrac{3}{2}+1\leq \dfrac{3}{2}\sin 2x+1\leq \dfrac{3}{2}+1$

$-\dfrac{1}{2}\leq \dfrac{3}{2}\sin 2x+1\leq \dfrac{5}{2}$

Значит, наименьшее значений функции равно $-\dfrac{1}{2}$, а наибольшее значение функции равно $\dfrac{5}{2}$.