Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А (–2; 1), В (1; 4), С (5; 0) і D (2; –3) є прямокутником

Answer 1

Ответ:

В объяснении.

Объяснение:

В параллелограмме противоположные стороны попарно равны (признак параллелограмма). Проверим:

Координаты вектора АВ(1-(-2);4-1) = (3;3).

Модуль вектора |AB| = √(3²+3²) = 3√2.

Координаты вектора CD(2-5);-3-0) = (-3;-3).

Модуль вектора |CD| = √(3²+3²) = 3√2.  =>  AB = CD.

Координаты вектора BC(5-1;0-4) = (4;-4).

Модуль вектора |BC| = √(4²+(-4)²) = 4√2.

Координаты вектора АD(2-(-2);-3-1) = (4;-4).

Модуль вектора |AD| = √(4²+(-4)²) = 4√2. =>  BC = AD.

Итак, четырехугольник является параллелограммом.

Определим косинус угла А по формуле:

CosA = (Xab·Xad + Yab·Yad)/(|AB|·|AD|.

Xab·Xad + Yab·Yad = 12 + (-12) = 0. =>

CosA = 0  => угол А = 90°  => параллелограмм АВСD является прямоугольником, что и требовалось доказать.