Question

Найдите все простые числа р, для которых 16р + 1 = n^3, где n - натуральное число.

Answer 1

Ответ:

307

Объяснение:

$16p=n^3-1\\ 16p=(n-1)(n^2+n+1)$

Т.к. $n^2+n=n(n+1)$ , т.е. произведению 2 последовательных натуральных чисел, то оно четно => $n^2+n+1$ нечетно

Левая часть уравнения делится на $16=2^4$ => (n-1) кратно 16 => $n-1=16k=>n=16k+1,k\in N$

$16p=16k((16k+1)^2+(16k+1)+1)\\ p=k(16^2k^2+32k+1+(16k+1)+1)\\ p=k(16^2k^2+48k+3)$

Т.к. p простое, то ровно один из множителей простое число, а второй равен 1. $(16^2k^2+48k+3)\geq 16^2+48+3>1$ , а значит k=1

Тогда $p=1*(16^2+48+3)=256+51=307$ - действительно простое число. А значит p=307 - решение уравнения