Помогите решить с подробным объяснением. Основание прямой призмы - равнобедренный прямоугольный треугольник, катет равен 2√2 см. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины верхнего основания равен 60°. Вычислите площадь боковой поверхности.
Ответы
Ответ:
Площадь боковой поверхности призмы равна 16 + 8√2 см²
Объяснение:
Рисунок прилагается.
Пусть ABCC₁B₁A₁ данная прямая призма. Основание призмы ΔABC прямоугольный и равнобедренный: ∠B = 90°, AB = BC= 2√2 см.
Угол между диагоналями боковых граней ∠AB₁C = 60°.
Вычислить площадь боковой поверхности призмы.
Решение.
Боковая поверхность призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: Sбок. = P*H.
1) В прямоугольном ΔABC по т.Пифагора найдем гипотенузу AC:
AC² = AB² + BC² = 2* (2√2)² = 2*4*2 = 8 = 16
AC = 4 см.
2) Рассмотрим ΔAB₁C. Он равнобедренный, так как AB₁ = B₁C как диагонали равных боковых граней призмы. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию ∠AB₁C = 60°.
⇒ ∠B₁AC = ∠ACB₁ = 60° (сумма углов в треугольнике равна 180°).
⇒ ΔAB₁C равносторонний и AB₁ = B₁C = 4 см.
3) ΔВB₁C прямоугольный, так как призма прямая, ∠B = 90°. Из ΔВB₁C по т.Пифагора найдем высоту призмы - катет B₁B.
B₁B² = B₁С² - BC² = 4² - (2√2)² = 16 - 8 = 8 = 4*2
B₁B = 2√2 см. Высота призмы H = 2√2 см.
4) найдем периметр основания и боковую поверхность призмы.
P = AB + BC + AC = 2*2√2 + 4 = 4√2 + 4 см.
Sбок = P*H = (4√2 + 4)*2√2 = 4√2 * 2√2 + 4 * 2√2 = 16 + 8√2 (см²) Площадь боковой поверхности призмы равна 16 + 8√2 см² .
