Question

Доказать
$\sqrt[n]{z_{1}z_{2}...z_{n}} \ \textless \ =(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n |z_{k}|^p )^{\frac{1}{p} }$

Answer 1

1) Допустим, что все $z_i\geq 0$

Тогда, согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим $\sqrt[n]{z_1^p*z_2^p*...*z_n^p}\leq \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nz_k^p$

Тогда $\sqrt[n]{z_1^p*z_2^p*...*z_n^p}=(\sqrt[n]{z_1z_2...z_n})^p\leq \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nz_k^p=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^p$ => $(\sqrt[n]{z_1z_2...z_n})^p\leq \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^p\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Обе части нер-ва (1) неотрицательны, а тогда их можно возводить в одинаковую степень. Выбрав степень $\dfrac{1}{p}$ , получим неравенство из условия.

2) Теперь пусть среди $z_i$ присутствуют отрицательные числа, причем $\sqrt[n]{z_1z_2...z_n}<0$ . Но правая часть исходного неравенства неотрицательна, а значит неравенство очевидно.

3) Остается рассмотреть случай, когда среди $z_i$ присутствуют отрицательные числа, причем $\sqrt[n]{z_1z_2...z_n}\geq 0$

Значит $\sqrt[n]{z_1z_2...z_n}=\sqrt[n]{|z_1|*|z_2|*...*|z_n|}$. А тогда, в соответствии с пунктом 1), $\sqrt[n]{|z_1|*|z_2|*...*|z_n|}\leq (\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|(|z_k|)|^p)^\frac{1}{p}=(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^p)^\frac{1}{p}$ - и в данном случае неравенство верно.

А значит исходное неравенство верно для всех допустимых наборов $\{z_i, i=\overline{1,n}\}$ , для любых $p>0$ и для любых $n\in N$