Question

M — точка пересечения медиан треугольника ABC .
Известно, что∠CAM=∠CBM .
Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Определите площадь треугольника ABC , если AC=5 ,MC=2 .

Answer 1

AA1, BB1, CC1 - медианы.

Треугольники CAA1 и CBB1 подобны по двум углам (С - общий).

Медианы треугольника делятся точкой пересечения (M) в отношении 2:1 от вершины.

Точка M делит соответствующие стороны подобных треугольников в равном отношении.

Отрезок CM является соответствующим элементом подобных треугольников, следовательно треугольники подобны с коэффициентом 1, то есть равны.

△CAA1=△CBB1, AC=BC, △ABC - равнобедренный.

CC1 =3/2 MC =3

Медиана CC1 является также высотой.

По теореме Пифагора AC1=4 =AB/2

S(ABC) =1/2 AB*CC1 =4*3 =12