Question

Найдите, при каких значениях параметра руравнение
(p+ 4)х^2 + 2px + 2 = 0 имеет:
а) один корень;
в) хотя бы один корень;
б) два корня;
г) не более одного корня.​

Answer 1

a) Рассмотрим случай когда p+4 =0 откуда p = -4, получаем линейное уравнение, имеющее только одно решение.

Если p ≠ -4, то это квадратное уравнение и он имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю

$D=4p^2-8(p+4)=0\\ \\ p^2-2p-8=0\\ p_1=-2\\ p_2=4$

Ответ: при p = ±4 и p = -2.

б) Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант неотрицательный и условие p=-4 тоже учитывается

$p^2-2p-8\geq 0\\ p \in (-\infty;-2]\cup[4;+\infty)$

в) Квадратное уравнение имеет два корня, если его $D>0$, то есть, при $p \in (-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$, но с учетом того, что при p = -4 уравнение имеет один корень, то ответом является промежуток $p\in (-\infty;-4)\cup(-4;-2)\cup(4;+\infty)$

г) Квадратное уравнение имеет не более одного корня, если $D\leq 0$. То есть, при $p\in [-2;4]$, с учетом p=-4, получаем $p \in[-2;4]\cup\{-4\}$