Дана треугольная призма ABCA1B1C1, где A (1, 7, 4), B (1, 2, –1), C (4, 3, 1), A1 (1, –4, 2). Найдите: а) объем призмы ABCA1B1C1; б) площадь грани АСС1А1; в) высоту призмы; г) угол между ребрами BС и АA1; д) угол между гранями ABB1A1 и A1B1С1.
Ответы
Дана треугольная призма ABCA1B1C1, где A (1, 7, 4), B (1, 2, –1), C (4, 3, 1), A1 (1, –4, 2).
Найдите: а) объем призмы ABCA1B1C1;
Находим векторы:
АВ 0 -5 -5 0 -5
АС 3 -4 -3 3 -4
АА_1 -3 -7 1 -3 -7
Находим смешанное произведение векторов
0 -45 105
-60 0 -15 =
= 0 + (-45) + 105 - 60 - 0 - (-15) = 135 .
V = 135/2 = 67,5 куб.ед.
б) площадь грани АСС1А1;
Векторы найдены: АС 3 -4 -3
АА_1 -3 -7 1
Находим их векторное произведение.
i j k i j
-3 -7 1 -3 -7 АА_1
3 -4 -3 3 -4 АС
i* 21 j* 3 k* 12 I = j = k =
j* 9 i* -4 k* -21 = -4 -6 33
16 36 1089 = 1141.
S = √1141 = 33,77869151.
в) высоту призмы;
Находим площадь основания.
i j k i j
0 -5 -5 0 -5 АВ
3 -4 -3 3 -4 АС
i* 15 j* -15 k* 0 I = j = k =
j* 0 i* 20 k* -15 = -5 -15 15
25 225 225 = 475.
So = (1/2)√475 = 10,89724736 .
Тогда H = V/So = 67,5/((1/2)√475) = 6,194224815
г) угол между ребрами BС и АA1;
Вектор ВС
x y z
3 1 2 модуль равен √14
АА_1 -3 -7 1 модуль равен √59
cos a = (3*(-3) + 1*(-7) + 2*1)/( √14*√59) = -14/√826 = -0,4871223
Угол равен 2,079587966 радиан или 119,1516136 градуса.
д) угол между гранями ABB1A1 и A1B1С1.
Находим уравнения плоскостей по трём точкам:
плоскость АВВ1А1
-5 x + -15 y + 15 z + -85 = 0 .
плоскость А1В1С1.
Для этого добавляем недостающие координаты точек В1 и С1.
Точка В_1 Точка С_1`
x y z x y z
-2 -5 0 1 -4 2 .
Уравнение:
-40 x + 15 y + -15 z + -5 = 0 .
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| 250
√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²) = 986,7877178
cos = 0,253347296
угол 1,314657448 75,32432328
радиан градус