Question

1) (x-y)ydx-x^2dy=0 Решить однородной дифференциальное уравнение.
2) xy^'+2y=1/x Решить Линейное дифференциальное уравнение.
3) y^n+2y^'+5y=0 Решить дифференциальное уравнение второго порядка​

Answer 1

Ответ:

Все ответы выедены жирным шрифтом в конце решения

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \\(x-y)ydx-x^2dy=0\\-x^2\frac{dy}{dx}+(x-y)y=0\\\frac{-x^2\frac{dy}{dx}+(x-y)y}{y^2x^2}=0\\-\frac{\frac{dy}{dx}}{y}+\frac1{xy}=\frac1{x^2}\\v=\frac1y\\\frac{dv}{dx}+\frac vx=\frac1{x^2}\\\frac{xdv}{dx}+v=\frac 1x\\\frac{xdv}{dx}+v\frac{dx}{dx}=\frac 1x\\\frac{dxv}{dx}=\frac1x\\\int\frac{dxv}{dx}dx=\int\frac1xdx\\v=\frac{\ln x+c}x\\\\\mathbf{y(x)=\frac x{\ln x+c}}$

$\displaystyle xy'+2y=\frac1x\\x\frac{dy}{dx}+2y=\frac1x\\\frac{dy}{dx}+\frac{2y}x=\frac1{x^2}\\x^2\frac{dy}{dx}+2xy=1\\x^2\frac{dy}{dx}+\frac{dx^2}{dx}y=1\\\frac{d(x^2y)}{dx}=1\\\int\frac{d(x^2y)}{dx}dx=\int1dx\\x^2y=x+c\\\mathbf{y(x)=\frac{x+c}{x^2}}$

Условие немного некорректное, но так как написано решить уравнение второго порядка, я исправлю ошибку. Если что-то не так, пишите.

$\displaystyle y''+2y'+5y=0\\y(x)=e^\lambda^ x\,\, , \lambda\in\mathbb{C}\\\lambda^2y+2\lambda y+5y=0\\\lambda^2+2\lambda+5=0\\\left [ {{\lambda=-1+2i} \atop {\lambda=-1-2i}} \right. \\y(x)=y_1+y_2=c_1e^{(-1+2i)x}+c_2e^{(-1-2i)x}=c_1(e^{-x}\cos(2x)+ie^{-x}\sin(2x))+c_2(e^{-x}\cos(2x)-ie^{-x}\sin(2x))=(c_1+c_2)e^-^x\cos(2x)+i(c_1-c_2)e^-^x\sin(2x)\\\mathbf{y(x)=(c_1+c_2)e^-^x\cos(2x)+i(c_1-c_2)e^-^x\sin(2x)}$