Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром

окружности является его диагональ AC . Также известно, что в ABCD

можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD , если

AC = 26 и BD =10.
Срочно. ​

Answer 1

Ответ:

а) Доказано; б) $\dfrac{5\sqrt{26}}{6}$.

Объяснение:

а)

Пусть AB=b, BC=a, DC=n, AD=m.

Понятно, что ΔADC и ΔABC прямоугольные (AC - диаметр окружности по условию)

Из теоремы Пифагора и условия вписанности окружности в четырехугольник следует:

$\begin{equation*} \begin{cases} a^2+b^2=n^2+m^2 \\ a+m=b+n \end{cases}\end{equation*}$

Рассмотрим вторую строку системы:

$a+m=b+n\\(a+m)^2=(b+n)^2\\a^2+2am+m^2=b^2+2bn+n^2\\a^2-b^2+2am=n^2-m^2+2bn$

Выполним сложение первой строки исходной системы и полученной:

$2a^2+2am=2n^2+2bn\\a^2+am=n^2+bn\\a(a+m)=n(b+n)$

Теперь заметим, что из 2-ой строки исходной системы $a+m=b+n$.

Тогда:

$a(a+m)=n(a+m)\\a=n$

Соответственно и $b=m$.

Значит ΔDBC и ΔDAB равнобедренные.

Пусть в ΔDAB ∠DAO=α и ∠BAO=β. Тогда ∠ADB=90°-β, а ∠ABD=90°-α.

Но ∠ADB=∠ABD => α=β. Значит AO - биссектриса ∠DAB, а => и высота (ΔDAB равнобедренный) => AC⊥BD.

Доказано!

б)

Понятно, что искать радиус будем, записав формулу площади исходного четырехугольника двумя способами, т.е:

$S=\dfrac{1}{2}\times AC\times BD\\\\S=p\times r\\\\=>r=\dfrac{AC\times BD}{2p}$

Здесь в 1-ой формуле sin90°=1.

$p=\dfrac{m+n+a+b}{2}=n+m$

По теореме Пифагора:

$AC^2=n^2+m^2\\AC^2=(n+m)^2-2mn$

Но высота треугольника DAC:

$DO=\dfrac{mn}{AC},\;=>\;mn=\dfrac{BD\times AC}{2}$

Тогда:

$AC^2=(n+m)^2-BD\times AC\\=>m+n=6\sqrt{26}$

Итого:

$r=\dfrac{26\times 10}{2\times6\sqrt{26}}=\dfrac{5\sqrt{26}}{6}$

Задание выполнено!