Question

Решите определенный интеграл

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits^e_1 {\frac{lnx}{x} } \, dx.$

Вычислим вначале неопределённый интеграл:

$\int\limits {\frac{lnx}{x} } \, dx$

Пусть u=lnx   ⇒    du=(lnx)'=dx/x.

$\int\limits {\frac{lnx}{x} } \, dx =\int\limits {u} \, du=\frac{u^2}{2}=\frac{ln^2x}{2}\ \ \ \ \Rightarrow\\\frac{ln^2x}{2}\ |_1^e=\frac{ln^2e}{2}-\frac{ln^21}{2}= \frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}=0,5.$

$\int\limits^e_1 {\frac{lnx}{x} } \, dx=0,5.$