Question

спасибо большое большое тебе спасибо ​

Answer 1

Воспользуемся формулой Ньютона—Лейбница для нахождения определенных интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x)\Big|^{b}_{a} = F(b) - F(a)}$

$1) ~ \displaystyle \int\limits_{0}^{x} 5\, dt = 5t \Big|^{x}_{0} = 5x - 5 \cdot 0 = 5x$

Найдем решение неравенства $\displaystyle \int\limits_{0}^{x} 5\, dt > 1 \colon$

$5x > 1; ~~~ x > \dfrac{1}{5}; ~~~ x \in \left(\dfrac{1}{5}; ~ {+}\infty \right)$

Ответ: $x \in \left(\dfrac{1}{5}; ~ {+}\infty \right) ~ \blacktriangleleft$

$2) ~ \displaystyle \int\limits_{x}^{x^{2}} 5\, dt = 5t \Big|^{x^{2}}_{x} = 5x^{2} - 5x = 5x(x-1)$

Найдем решение неравенства $\displaystyle \int\limits_{x}^{x^{2}} 5\, dt < 0 \colon$

$5x(x - 1) < 0; ~~~ \displaystyle \left [ {{\displaystyle \left \{ {{5x > 0~~~~} \atop {x - 1 < 0}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{5x < 0 ~~~~} \atop {x - 1 > 0}} \right.}} \right. ~~~ \left [ {{\displaystyle \left \{ {{x > 0} \atop {x < 1}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x < 0 } \atop {x > 1}} \right.}} \right. ~~~ \left [ {{x \in (0; ~ 1)} \atop {x \in \varnothing ~~~~~}} \right. \Rightarrow x \in (0; ~ 1)$

Ответ: $x \in (0; ~ 1) ~ \blacktriangleleft$

$3) ~ \displaystyle \int\limits_{x}^{1} 3\, dt = 3t \Big|^{1}_{x} = 3 - 3x$

Найдем решение неравенства $\displaystyle \int\limits_{x}^{1} 3\, dt > 9 \colon$

$3-3x > 9; ~~~ {-}3x > 6; ~~~ x < -2; ~~~ x \in (-\infty; ~ {-}2)$

Ответ: $x \in (-\infty; ~ {-}2) ~ \blacktriangleleft$

$4) ~ \displaystyle \int\limits_{x}^{2} (2t-3)\, dt = \left(t^{2} - 3t \right) \Big|^{2}_{x} = 2^{2} - 3 \cdot 2 - (x^{2} - 3x) = -x^{2} + 3x - 2$

Найдем решение неравенства $\displaystyle \int\limits_{x}^{2} (2t - 3)\, dt > 0 \colon$

$-x^{2} + 3x - 2 > 0 ~~~ \big| \cdot (-1)$

$x^{2} - 3x + 2 < 0$

$(x-1)(x-2) < 0$

$\displaystyle \left [ {{\displaystyle \left \{ {{x - 1 > 0} \atop {x - 2 < 0}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x - 1 < 0} \atop {x - 2 > 0}} \right.}} \right. ~~~ \left [ {{\displaystyle \left \{ {{x > 1} \atop {x < 2}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x < 1 } \atop {x > 2}} \right.}} \right. ~~~ \left [ {{x \in (1; ~ 2)} \atop {x \in \varnothing ~~~~~}} \right. \Rightarrow x \in (1; ~ 2)$

Ответ: $x \in (1; ~ 2) ~ \blacktriangleleft$