Question

Задача не из простых, но че поделаешь, решить надо
$\left \{ {{x=y^{3}-3y } \atop {y=x^{3}-3x }} \right.$

Answer 1

Два уравнения составляют симметрическую систему, решение которой не изменится, если заменить x на y  и  y на x.  

В приложениях аналитическое решение и графическое.

Пояснения к графическому способу.

При замене переменных уравнения идентичны, графики будут симметричны относительно прямой  y=x.

Три решения системы расположены на прямой y=x.

$\displaystyle\left \{ {{x=y^3-3y} \atop {y=x^3-3x}} \right. \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \left \{ {{x=y~~~~~~~} \atop {y=x^3-3x}} \right.\\\\\\\left \{ {{x=y~~~~~~~} \atop {x=x^3-3x}} \right. \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \left \{ {{x=y~~~~~~~} \atop {x^3-4x=0}} \right.\\\\\\\left \{ {{x=y~~~~~~~} \atop {x(x^2-4)=0}} \right. \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left \{ {{x=y~~~~~~~~~~~~} \atop {x(x-2)(x+2)=0}} \right.$

$\boldsymbol{y_1=x_1=0;\ \ \ y_2=x_2=2;\ \ \ y_3=x_3=-2}$

Три решения системы расположены на прямой y=-x

$\displaystyle\left \{ {{x=y^3-3y} \atop {y=x^3-3x}} \right. \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \left \{ {{y=-x~~~~~~~} \atop {y=x^3-3x}} \right.\\\\\\\left \{ {{y=-x~~~~~~~} \atop {-x=x^3-3x}} \right. \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \left \{ {{y=-x~~~~~~~} \atop {x^3-2x=0}} \right.\\\\\\\left \{ {{y=-x~~~~~~~} \atop {x(x^2-2)=0}} \right. \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left \{ {{y=-x~~~~~~~~~~~~~~~~} \atop {x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)=0}} \right.$

$\boldsymbol{x_1=y_1=0;\ \ \ x_4=\sqrt2;\ y_4=-\sqrt2;\ \ \ x_5=-\sqrt2;\ y_5=\sqrt2}$

Четыре оставшихся решения получить графически можно только приблизительно.

Ответ :  Система имеет 9 решений

$(0;0);~(-2;-2);~(2;2);~(\sqrt2;-\sqrt2);~(-\sqrt2;\sqrt2);\\\\\Bigg(\dfrac{\sqrt5+1}2;\dfrac{\sqrt5-1}2\Bigg);~\Bigg(\dfrac{\sqrt5-1}2;\dfrac{\sqrt5+1}2\Bigg);\\\\\Bigg(\dfrac{-\sqrt5+1}2;\dfrac{-\sqrt5-1}2\Bigg);~\Bigg(\dfrac{-\sqrt5-1}2;\dfrac{-\sqrt5+1}2\Bigg)$