Question

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, протилежний
їй кут дорівнює альфа. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену
з вершини кута при основі.​

Answer 1

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB = BC; CL — биссектриса угла BCA; ∠ABC = α, тогда $\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ -\frac{\alpha}{2}$.

$\angle LCA=\frac{\angle BCA}{2}=45^\circ-\frac{\alpha}{4}$, то $\angle ALC=180^\circ-(90^\circ-\frac{\alpha}{2}+45^\circ -\frac{\alpha}{4})=90^\circ+(45^\circ-\frac{3\alpha}{4})$

По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin \angle ALC}=\frac{CL}{\sin \angle LAC}$

$\frac{a}{\sin(90^\circ+(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}))}=\frac{CL}{\sin (90^\circ-\frac{\alpha}{2})}$

$\frac{a}{\cos(45^\circ-\frac{3\alpha}{4})}=\frac{CL}{\cos\frac{\alpha}{2}}\\ \\ CL=\frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos(45^\circ-\frac{3\alpha}{4})}$