Question

чему равен интеграл от 2 до -2 от (4-х^2)dx = ?

и интеграл от п/4 до 0 от 3cos2x dx = ?

Answer 1

$\int limits_{-2}^2 4-x^2, dx=\ Big[4x-frac{x^3}{3}Big]_{-2}^2=\ 4cdot2-frac{2^3}{3}-(4cdot(-2)-frac{(-2)^3}{3})=\ 8-frac{8}{3}-(-8+frac{8}{3})=\ 16-frac{16}{3}=\ frac{48}{3}-frac{16}{3}=\ frac{32}{3}$

 

$\int limits_0^{frac{pi}{4}}3cos2x, dx=\ 3int limits_0^{frac{pi}{4}}cos2x, dx=(*)\ t=2x\ dt=2, dx\ dx=frac{1}{2}dt\ 3int limits_0^{frac{pi}{4}}cos tcdotfrac{1}{2}dt=\ frac{3}{2}int limits_0^{frac{pi}{4}}cos t, dt=\ frac{3}{2}Big[sin tBig]_0^{frac{pi}{4}}\ (*)=frac{3}{2}Big[sin 2xBig]_0^{frac{pi}{4}}=\ frac{3}{2}(sin (2cdotfrac{pi}{4})-(sin (2cdot0)))=\ frac{3}{2}(sin (frac{pi}{2})-(sin 0))=\ frac{3}{2}(1-0)=\ frac{3}{2}$