Question

$arctg^{2} \frac{x}{3} -4arctg\frac{x}{3}$ -5 = 0

Answer 1

$\arctg {}^{2} ( \frac{x}{3} ) - 4 \arctg( \frac{x}{3} ) - 5 = 0$

Проведём замену:

$\arctg( \frac{x}{3} ) = t, \: t \in ( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} )$

Тогда получаем новое уравнение:

${t}^{2} - 4t - 5 = 0 \\ t_{1} = 5 \\ t _{2} = - 1$

Так как на переменную t установлено ограничение, а корень 5 не входит в него, получаем единственное решение t = -1. Тогда проводим обратную замену:

$\arctg( \frac{x}{3} ) = - 1 \\ \frac{x}{3} = \tan( - 1) \\ \frac{x}{3} = - \tan(1) \\ x = - 3 \tan(1)$