докажите что если у четырехугольника диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник-прямоугольник
можно кратко и ясно с условием и решением пожалуйста
Ответы
Ответ:
Возьмем четырехугольник ABCD и проведем диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. Пусть для этого четырехугольника выполнено условие "диагонали четырехугольника равны и точкой пересечения делятся пополам"
Тогда AO=OC=¹/₂AC и BO=OD=¹/₂BD (так как O - середина AC и BD), а также AC=BD. Значит AO=OC=BO=OD.
Треугольники AOB и DOC равны, так как DO=AO, BO=OC, ∠AOB=∠DOC (как вертикальные углы при пересечении AC и BD), а кроме этого AOB и DOC - равнобедренные треугольники, а значит ∠ODC=∠OCD=∠OAB=∠OBA=α.
Аналогичным способом для треугольников AOD и BOC получаем:
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=β.
Рассмотрим треугольник BCD. ∠DBC=β, ∠BDC=α, ∠BCD=∠BCO+∠DCO=α+β
Сумма углов этого треугольника равна α+β+(α+β)=2α+2β
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому
2α+2β=180
α+β=90=∠BCD
Кроме того заметим, что каждый из углов ∠CBA, ∠BAD, ∠ADC равен α+β, а значит все эти три угла прямые.
Так как мы показали, что все 4 угла четырехугольника ABCD прямые, то мы доказали, что ABCD - прямоугольник.