Question

Помогите решить задачу с биномиальными коэффициентами. Доказать равенство.

Answer 1

Биномиальные коэффициенты обладают множеством различных свойств и будем связывать с одним свойством биномиальных коэффициентов так называемое "правило симметрии"

$C^k_n=C^{n-k}_n$

$\sum\limits^n_{k=0}(C^k_n)^2=(C^0_n)^2+(C^1_n)^2+(C^2_n)^2+...+(C^n_n)^2=C^0_nC^n_n+C^1_nC^{n-1}_n+\\ \\ +C^2_{n}C^{n-2}_n+...+C^n_nC^0_n$

Пусть у нас есть два множества, каждое из которых содержит $n$ элементов. Объединим эти два множества и из этого множества, содержащего $2n$ элементов будем выбирать подмножества, содержащие $n$ элементов. Число таких подмножеств равно $C^n_{2n}$. Следовательно, $\sum\limits^n_{k=0}(C^k_n)^2=C^n_{2n}$.