Даны точки A(4;0),B(5;4),C(-3;1)иD(1;-3).
Определи : A) Вектор AB иCD координат.
В)|AB|и|CD|.
C)1/4 умножить AB.
D)то координат точки K, который делит прямой край AB в отношении 1:3, считая от точки A
Ответы
а) Для определения угла между векторами АВ и CD необходимо найти координаты этих векторов. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. То есть, если вектор AB заданный координатами точек A (Ax; Ay; Az) и B (Bx; By; Bz) можно найти, воспользовавшись следующей формулой
AB = (Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az).
Вычислим координаты вектора АВ:
AB = (Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az) = (-5 - 4; 2 - (-6); -5 - 3) = (-9; 8; -8).
Вычислим координаты вектора СD:
СD = (Dx - Cx; Dy - Cy; Dz - Cz) = (-6 - 0; -3 - (-3); 0 - (-4)) = (-6; 0; 4).
Угол между векторами AB и CD находится по формуле:
cos α = (AB x CD) / (|AB| * |CD|).
Найдем скалярное произведение векторов АВ x CD, используя формулу:
АВ x CD = АВx * CDx + АВy * CDy + АВz * CDz = (-9) * (-6) + 8 * 0 + (-8) * 4 = 54 + 0 - 32 = 22.
Вычислим длины векторов |AB| и |CD|, используя формулу:
|AB| = √(АВx^2 + АВy^2 + АВz^2).
|AB| = √((-9)^2 +8^2 + (-8)^2) = √(81 + 64 + 64) = √209.
|CD| = √(CDx^2 + CDy^2 + CDz^2).
|CD| = √((-6)^2 + 0^2 + 4^2) = √(36 + 0 + 16) = √52.
Вычислим угол между векторами AB и CD:
cos α = 22 / (√209 * √52) = 22 / √10868 = 22 / 2√2717 = 11 / √2717 = (11 * √2717) / (√2717 * √2717) = (11 * √2717) / 2717 = √2717 / 247.
б) для определения угла между прямыми DА и СВ необходимо выполнить такие же действия как в пункте а).
Вычислим координаты векторов DА и СВ:
DA = (Ax - Dx; Ay - Dy; Az - Dz) = (4 - (-6); -6 - (-3); 3 - 0) = (10; -3; 3).
CB = (Bx - Cx; By - Cy; Bz - Cz) = (-5 - 0; 2 - (-3); -5 - (-4)) = (-5; 5; -1).
Найдем скалярное произведение векторов DА x CB:
DА x CB = DАx * CBx + DАy * CBy + DАz * CBz = 10 * (-5) + (-3) * 5 + 3 * (-1) = -50 - 15 - 3 = -68.
Вычислим длины векторов |DA| и |CB|:
DА = √(DАx^2 + DАy^2 + DАz^2) = √(10^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(100 + 9 + 9) = √118.
CB = √(CВx^2 + CВy^2 + CВz^2) = √((-5)^2 + 5^2 + (-1)^2) = √(25 + 25 + 1) = √51.
Вычислим угол между прямыми DA и CB:
cos α = (DA x CB) / (|DA| * |CB|) = -26 / (√118 * √51) = -68 / √6018 = (-68 * √6018) / 6018 = -2√6018 / 177.
Ответ: угол между векторами AB и CD cos α = √2717 / 247; угол между прямыми DA и CB cos α = -2√6018 / 177.
Пошаговое объяснение: