Объясните, почему график(y=arcsin(sinx)) выглядит именно так, и почему он периодичен, ведь арксинус функция непериодичная, а то в учебнике непонятно написано
Ответы
Пошаговое объяснение:
(Элементарный, обычный) y=arcsin x:
Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1
(-π/2≤y≤π/2)).
Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:
В примере же арксинус построен как сложная функция. y=arcsin g(x), g(x)=sin x, x є R
В отличии от обычного этот арксинус определен на всей числовой оси, так как при любом действительном х (x є R) выполняется -1≤sin x≤1, а значит и арксинус из примера определен для всех точек числовой оси, потому что его подарксинусное выражение отвечает ограничению при -1≤...≤1 <----> при -1≤g(x)≤1
Далее исходя из определения получаем что для любой точки графика при условии (-π/2≤y≤π/2) должно выполняться равенство sin x=sin y
(переписав в виде sin x- siny =0и используя формулу разности синусов
2 * sin(x-y)/2 * cos(x+y)/2 =0
sin(x-y)/2=0; (x-y)/2 =π*k, k є Z; x-y=2*π*k, k є Z или же то же самое
y-x=2*π*l, l є Z; y=x+2*π*l, l є Z
--отрезки на графике (y=x,-π/2≤x≤π/2 ; y=x+2*π, -3π/2≤x≤-π/2 и т.д..)
--т.е. отрезок прямой y=x,-π/2≤x≤π/2 повторяется с периодом 2*π
cos(x+y)/2 =0 ; (x+y)/2 =π/2+π*n, n є Z; x+y=π+2*π*n, b є Z или же то же самое
y=-x+π+2*π*n, n є Z
--отрезки на графике (y=-x+π,π/2≤x≤3π/2 ; y=-x+3*π, -5π/2≤x≤-3π/2 и т.д..)
--т.е. отрезок прямой y=-x+π,π/2≤x≤3π/2 повторяется с периодом 2*π
)
т.е. имеем две периодические серии отрезков периодом 2*π для каждой из которой (-π/2≤y≤π/2) с общими крайними точками перехода
Еще отдельно насчет периодичности: y=arcsin (sin x)=arcsin (sin (x+2*π*n) ) , в силу периодичности функции синуса sin x=sin (x+2*π*n), а значит и для функции примера имеем периодичность с периодом 2*π*n