Question

Найти сумму
(1/6)+(2/6^2)+(3/6^3)+...+(n/6^n)+...

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{6}{25}$

Пошаговое объяснение:

1 способ

$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\dfrac{n}{6^n}}=\dfrac{1}{6}<1$ , а тогда, по признаку Коши, ряд сходится, а значит имеет конечную сумму. Обозначим ее S

$S=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{k}{6^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{6^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{k-1}{6^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{6^k}+\sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{k-1}{6^k}=[k-1=l]=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{1-\dfrac{1}{6}}+\dfrac{1}{6}\sum\limits_{l=1}^\infty\dfrac{l}{6^l} =\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}S \Rightarrow \dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{6}S\Rightarrow S=\dfrac{6}{25}$

______________________

2 способ

$\sum\limits_{k=1}^\infty x^k$ - члены данного ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию при $|x|<1$ с  суммой $\dfrac{1}{1-x}$

На области сходимости функциональный ряд можно почленно дифференцировать:

$(\sum\limits_{k=1}^\infty x^k)'=(\dfrac{1}{1-x})'\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\Rightarrow\dfrac{1}{6}\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\dfrac{1}{6}\dfrac{1}{(1-x)^2}$

$x=\dfrac{1}{6}$ входит в область сходимости. А тогда $\dfrac{1}{6}\sum\limits_{k=1}^\infty k(\dfrac{1}{6})^{k-1}=\dfrac{1}{6}\dfrac{1}{(1-\dfrac{1}{6})^2}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{k}{6^k}=\dfrac{1}{6}\dfrac{1}{(\dfrac{5}{6})^2}=\dfrac{6}{25}$