Question

помогите решить уравнение​

Answer 1

Замена:

$x+\frac{1}{x} =t\\(x+\frac{1}{x})^2 =t^2\\x^2+2+\frac{1}{x^2} =t^2\\x^2+\frac{1}{x^2} =t^2-2$

$t^2-2+2t=\frac{142}{9} |\cdot 9\\9t^2-18+18t=142\\9t^2-18+18t-142=0\\9t^2+18t-160=0$

Можно решить через дискриминант, но в данном случае также удобно выделить полный квадрат:

$9t^2+18t+9-169=0\\(3t+3)^2-13^2=0\\(3t+3+13)(3t+3-13)=0\\(3t+16)(3t-10)=0\\t=-\frac{16}{3} ; t=\frac{10}{3}$

Обратная замена:

$1) x+\frac{1}{x} =-\frac{16}{3} |\cdot 3x\\3x^2+3=-16x\\3x^2+16x+3=0\\D=16^2-4\cdot3\cdot3=256-36=220=(2\sqrt{55})^2\\x=\frac{-16 \pm 2\sqrt{55} }{6} =\frac{-8 \pm \sqrt{55} }{3}$

$2) x+\frac{1}{x} =\frac{10}{3} |\cdot 3x\\3x^2+3=10x\\3x^2-10x+3=0\\D=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64=8^2\\x=\frac{10+8}{6}=3\\x=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}$

Ответ:

$x=\frac{-8-\sqrt{55} }{3} ;\frac{-8+\sqrt{55} }{3} ;\frac{1}{3} ;3$