Question

40 баллов!!!В правильном тетраэдре середина высоты соединена отрезками с вершинам основания.Докажите ,что эти отрезки взаимно перпендикулярны.

Answer 1

Ответ:

Все ребра правильного тетраэдра равны.

Обозначим ребро а.

О - центр треугольника АВС.

По формуле радиуса окружности, описанной около правильного треугольника:

$AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Из прямоугольного треугольника SAO по теореме Пифагора:

$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=$

$=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2a^2}{3}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$MO=\dfrac{SO}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$

Из прямоугольного треугольника МАО по теореме Пифагора:

$MA=\sqrt{MO^2+AO^2}=\sqrt{\dfrac{2a^2}{12}+\dfrac{3a^2}{9}}=$

$=a\sqrt{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}}=a\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

ΔMOA = ΔMOB = ΔMOC по двум катетам,  ⇒

$MA=MB=MC=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Для ΔАМВ выполняется теорема, обратная теореме Пифагора:

$AB^2=MA^2+MB^2$

$a^2=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}$

$a^2=a^2$

Значит, ΔАМВ прямоугольный.

ΔAMB = ΔAMC = ΔBMC по трем сторонам,  т.е.

МА, МВ и МС взаимно перпендикулярны.