Question

Решить систему симметрических уравнений: ​

Answer 1

Объяснение:

$\left \{ {{x+xy+y=4} \atop {x^2+xy+y^2=8}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{x+y+xy=4} \atop {x^2+2xy+y^2-xy=8}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x+y+xy=4} \atop {(x+y)^2-xy=8} \right. .$

Пусть х+у=t, а ху=v.    ⇒

$\left \{ {{t+v=4} \atop {t^2-v=8}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{v=4-t} \atop {t^2-(4-t)=8}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{v=4-t} \atop {t^2-4+t=8}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{v=4-y} \atop {t^2+t-12=0}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{v=4-t} \atop {D=49\ \ \sqrt{D}=7 }} \right. \ \ \ \ \left \{ {{v_1=8\ v_2=1} \atop {t_1=-4\ t_2=3}} \right..$

$1)\ t_1=-4\ \ \ \ v_1=8.\\\left \{ {{x+y=-4} \atop {xy=8}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=-4-x}} \atop {x*(-4-x)=8}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{y=-4-x} \atop {-4x-x^2=8}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=-4-x} \atop {x^2+4x+8=0}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=-4-x} \atop {D=-16}} \right. \ \ \ \ \Rightarrow$

Уравнение не имеет действительных корней.

$2)\ t_2=3\ \ \ \ v_2=1.\\\left \{ {{x+y=3} \atop {xy=1}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=3-x} \atop {x*(3-x)=1}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=3-x} \atop {3x-x^2=1}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{y=3-x} \atop {x^2-3x+1=0}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{y=3-x} \atop {D=5}\ \ \ \ \sqrt{D}= \sqrt{5} \right.\\x_1=\frac{3-\sqrt{5} }{2} \ \ \ \ y_1=3-\frac{3-\sqrt{5} }{2}=\frac{6-3+\sqrt{5} }{2}=\frac{3+\sqrt{5} }{2} .$

$x_2=\frac{3+\sqrt{5} }{2} \ \ \ \ y_2=3-\frac{3+\sqrt{5} }{2}=\frac{6-3-\sqrt{5} }{2} =\frac{3-\sqrt{5} }{2} .$

Ответ: $\left \{ {{x_1=\frac{3-\sqrt{5} }{2} } \atop {y_1=\frac{3+\sqrt{5} }{2} }} \right.\ \ \ \ \left \{ {{x_2=\frac{3+\sqrt{5} }{2} } \atop {y_2=\frac{3-\sqrt{5} }{2} }} \right. .$