Существуют ли два целых числа, сумма кубов которых равна 2021?С объяснение, пожалуйста.Ответ я итак знаю.
Ответы
Ответ:
Не существует такой пары целых чисел!
Пошаговое объяснение:
Предположим,что есть такие два целых числа. Обозначим их, как a∈Z b∈Z. Тогда:
a³+b³=2021
разложим по формуле сокращенного умножения:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=2021; (1)
видим, что наша сумма кубов разлагается на два множителя. На множитель a+b и множитель a²-ab+b².
Число 2021 - составное (проверяем по таблице простых чисел). Попробуем разложить на множители число 2021 (не обязательно простые множители). Легко увидеть, что у числа 2021 всего лишь два множителя: 43 и 47 (вариант 1 х 2021 не подходит по понятной причине).
2021=43*47
Вот теперь, посмотрев еще раз на формулу (1), мы можем составить систему уравнений (два варианта!) Причем учитываем только целые решния системы:
1.
а+b=43;
a²-ab+b²=47;
a=43-b;
(43-b)²-(43-b)b+b²-47=0;
43²-86b+b²-43b+b²+b²-47=0
3b²-129b+1802=0; D=16641-12*1802<0
Не имеет решений.
2.
а+b=47;
a²-ab+b²=43;
a=47-b;
(47-b)²-(47-b)b+b²-43=0;
47²-94b+b²-47b+b²+b²-43=0;
2209-141b+3b²-43=0;
3b²-141b+2166=0; D=19881-12*2166<0
Не имеет решений.
Не существует такой пары целых чисел!