Question

Решите уравнение 

(x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1

Answer 1

$textbf{(}textbf{x}^textbf{2}textbf{-5}textbf{x}textbf{+7}textbf{)}^textbf{2}textbf{-(x-2)(x-3)}textbf{=1}$
$textbf{(}textbf{x}^textbf{2}textbf{-5x+7)}^textbf{2}textbf{-(}textbf{x}^2textbf{-5x+6)}textbf{-1=0}$

Пусть $textbf{x}^2textbf{-5x=t,}$ тогда имеем:

$textbf{(t}^textbf{2}textbf{+14t+49)-(t+6)-1=0} \ \ textbf{t}^2textbf{+14t+49-6-t-1=0} \ \ textbf{t}^2textbf{+13t+42=0}$

Найдем дискриминант.

$textbf{D=b}^textbf{2}textbf{-4ac}=textbf{13}^textbf{2}textbf{-4}cdottextbf{1}cdottextbf{42}textbf{=1}$

D>0, значит уравнение имеет 2 корня.
Воспользуемся формулой 
                         $textbf{t}_{textbf{1,2}}textbf{=} dfrac{textbf{-b}pm sqrt{textbf{D}} }{2a}$

$textbf{t}_textbf{1}textbf{=} frac{textbf{-13-1}}{textbf{2}} =textbf{-7};,,,,,,,,,,,,,,,,textbf{t}_textbf{2}textbf{=} frac{textbf{-13+1}}{textbf{2}} textbf{=-6}$

Возвращаемся к замене:

$textbf{x}^textbf{2}textbf{-5x=-7} \ textbf{x}^textbf{2}textbf{-5x+7=0} \ textbf{D=b}^textbf{2}textbf{-4ac=(-5)}^textbf{2}textbf{-4}cdottextbf{1}cdottextbf{7}textbf{=-3}$
D<0, значит уравнение корней не имеет.

$textbf{x}^textbf{2}textbf{-5x+6=0}$

По т. Виета:
$left { {{textbf{x}_textbf{1}textbf{+x}_textbf{2}textbf{=5}} atop {textbf{x}_textbf{1}cdottextbf{x}_textbf{2}textbf{=6}}} right. to left { {{textbf{x}_textbf{1}textbf{=2}} atop {textbf{x}_textbf{2}textbf{=3}}} right.$

Ответ: 2;3.

Answer 2

(x²-5x+7)²-(x²-5x+6)-1=0
x²-5x+7=a⇒x²-5x+6=a-1
a²-(a-1)-1=0
a²-a+1-1=0
a(a-1)=0
a=0⇒x²-5x+7=0
D=25-28=-3<0-нет решения
а=1⇒x²-5x+7=1⇒x²-5x+6=0
x1+x2=5 U x1*x2=6
x1=2 U x2=3