Question

Случайная величина ξ задана функцией F(x) распределения вероятностей:
Найти плотность вероятности и числовые характеристики этой случайной величины.

Answer 1

Запишу правильное оформление функции распределения и дополню, что случайная величина $\xi$ является непрерывной.

Задана функция распределения $F_\xi(x)=\begin{cases} & \text{ } 0,~~~~~~~~x<4 \\ & \text{ } x-4~~~~4\leq x\leq 5 \\ & \text{ } 1,~~~~~~~~x>5 \end{cases}$.

Плотность вероятности распределения будем искать как производную от функции распределения

$p_\xi(x)=\begin{cases} & \text{ } 0,~~~x<4 ~~{\rm and}~~ x>5 \\ & \text{ } 1,~~~~~~~~ 4\leq x\leq 5 \end{cases}$

Найти числовые характеристики этой случайной величины означает, что нужно определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой величины

$E\xi=\int\limits^b_a xp_\xi(x)dx=\int\limits^5_4xdx=\frac{x^2}{2}\Big|^5_4=\frac{5^2-4^2}{2}=\frac{9}{2}$

$D\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\int\limits^b_a x^2p_\xi(x)dx-(\frac{9}{2})^2=\int\limits^5_4x^2dx-\frac{81}{4}=\\ \\ =\frac{x^3}{3}\Big|^5_4-\frac{81}{4}=\frac{5^3-4^3}{3}-\frac{81}{4}=\frac{61}{3}-\frac{81}{4}=\frac{1}{12}$

$\sigma \xi=\sqrt{D\xi}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$