Объясните кто нибудь метод интервалов для уравнений с модулем, сам алгоритм я знаю , но какие логические действия в действительности мы производим?Почему получив нули модулей, в последующих действиях мы можем приписать знаки(- и +) под модульным выражениям? Что это даёт и почему мы можем так делать?
Ответы
Ответ: Метод интервалов позволяет решать любые уравнения, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно. Поэтому каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.
Рассмотрим данный метод на конкретном примере.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.
1) Найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этого нужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
x = 2
2) Расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатной прямой. Они разобьют всю ось на четыре участка.метод интервалов
3) Определим на каждом из получившихся участков знаки выражений, стоящих в модулях. Для этого подставляем в них любые числа с интересующих нас интервалов. Если результат вычислений – число положительное, то в таблице ставим «+», а если число отрицательное, то ставим «–». Это можно изобразить так:метод интервалов
4) Теперь будем решать уравнение на каждом из четырех интервалов, раскрывая модули с теми знаками, которые проставлены в таблице. Итак, рассмотрим первый интервал:
I интервал (-∞; -3). На нем все модули раскрываются со знаком «–». Получим следующее уравнение:
-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Приведем подобные слагаемые, раскрыв предварительно скобки в полученном уравнении:
-x – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6
-4x = -12
x = 3.
Полученный ответ не входит в рассматриваемый интервал, поэтому в окончательный ответ писать его не надо.
II интервал [-3; -1). На этом интервале в таблице стоят знаки «–», «–», «+». Именно так и раскрываем модули исходного уравнения:
-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Упростим, раскрыв при этом скобки:
-x – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Приведем в полученном уравнении подобные:
-5x = -6
x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.
III интервал [-1; 2). Раскрываем модули исходного уравнения с теми знаками, которые стоят на рисунке в третьей колонке. Получаем:
(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Избавимся от скобок, перенесем слагаемые, содержащие переменную x в левую часть уравнения, а не содержащие x в правую. Будем иметь:
x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6
-4x = -8
x = 2.
В рассматриваемый интервал число 2 не входит.
IV интервал [2; +∞). Все модули раскрываем со знаком «+». Получим:
(x + 1) + (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6.
x + 1 + 2x – 4 – x – 3 = 2x – 6
0 = 0.
После преобразований уравнение превратилось в верное равенство. Это говорит о том, что любое число из рассматриваемого интервала будет являться решением исходного уравнения. Значит ответом, как на этом интервале, так и во всем уравнении является множество чисел, удовлетворяющих условию x ≥ 2.
Ответ: x ≥ 2.Metod intervalov – universal'nyj metod reshenija neravenstv s modulem3
Метод интервалов хоть и является универсальным методом решения уравнений с модулем, его применение не всегда оправдано. Порой решить уравнение выходит гораздо быстрее, используя, например, определение модуля или какие-то другие методы.