Question

Помогите с неравенством, перебрал горнеры до 7, как то не получается $x^{4}+3x^{3}-24x^{2}+17x+3 \ \textgreater \ 0$

Answer 1

Дано неравенство x^4 + 3x^3 -24x^2 + 17x + 3 > 0.

Находим корни заданного многочлена.

Корень уравнения бывает среди множителей свободного члена.  

Это +-1, +-3.

Подходит х1 = 1. Проверяем:  

1^4 + 3*1^3 - 24*1^2 + 17*1 + 3 = 1 +3 - 24 + 17 + 3 = 0.  

Делим заданный многочлен x^4+3x^3-24x^2+17x+3 на (х - 1).  

x^4+3x^3-24x^2+17x+3 | x - 1  

x^4-x^3                             x^3 + 4x^2 - 20x - 3  

      4x^3-24x^2  

      4x^3+4x^2  

             -20x^2+17x  

            -20x^2+20x  

                          -3x+3  

                          -3x+3

                             0  

Получаем  x^4+3x^3-24x^2+17x+3 = (x - 1)( x^3 + 4x^2 - 20x - 3) = 0.  

Так же находим корень кубического трёхчлена среди множителей его свободного члена. Это х2 = 3.  

Проверяем: 3^3 + 4*3^2 - 20*3 - 3 = 27 + 36 – 60 - 3 = 0.  

Делим x^3 + 4x^2 - 20x – 3 на (х - 3).  

x^3 + 4x^2 - 20x - 3| x - 3  

x^3 - 3x^2               x^2 + 7x + 1

        7x^2 – 20x

        7x^2 – 21x    

                       x – 3

                      x – 3

                          0

Находим корни квадратного трёхчлена.,

x^2 + 7x + 1 = 0.   Д = 49 – 4 = 45,     √Д = +-3√5.

Тогда х3 = (-7 + 3√5)/2 , х4 = (-7 - 3√5)/2.

Исходное неравенство x^4 + 3x^3 -24x^2 + 17x + 3 > 0 можно представить в виде множителей (х - 1)(х – 3)(х – ((-7 + 3√5)/2))(х – ((-7 - 3√5)/2)) > 0.

Находим значения заданного выражения на полученных промежутках.

х = -7    -1     0       2    4

у = 80  -40     3     -19 135

Отсюда получаем ответ: -∞ < x < ((-7 - 3√5)/2),  ((-7 + 3√5)/2) < x < 1, x >3.