Question

Решите систему уравнений:
$2 {x}^{2} + xy - {y}^{2} = 20$
${x}^{2} - 4xy + 7 {y}^{2} = 13$
​

Answer 1

Ответ:

(3;2)

(-3;-2)

$(\frac{17}{2\sqrt{7}};\frac{1}{2\sqrt{7}} )\\(-\frac{17}{2\sqrt{7}};-\frac{1}{2\sqrt{7}} )$

Объяснение:

Умножим первое уравнение на 4 и сложим со вторым

$9x^{2} +3y^{2} =93\\3x^{2} +y^{2} =31$

Выразим $y^{2} =31-3x^{2}$ и подставим в первое уравнение

$2x^{2} +xy-31+3x^{2} =20\\5x^{2} +xy =51$

Подставим вместо y его представление  $y=+/-\sqrt{31-3x^{2}}$

$5x^{2} +/-x\sqrt{31-3x^{2} } =51\\+/-x\sqrt{31-3x^{2} } =51-5x^{2}$

Возведем в последнем уравнении левую и правую часть в квадрат

$x^{2} (31-3x^{2} )=(51-5x^{2} )^{2}$

Делаем замену $t=x^{2}$

В итоге приходим к квадратному уравнению

$28t^{2}-541t+2601=0$

$t_{1}=9 \\t_{2}=\frac{17^{2} }{2^{2}*7 }$

Тогда $x_{1,2} =+/-3\\x_{3,4}=+/-\frac{17}{2\sqrt{7} }$

Вспоминая, что $y=+/-\sqrt{31-3x^{2}}$ находим y

$y_{1,2}=+/-2 \\y_{3,4}=+/-\frac{1}{2\sqrt{7} }$

Для отбора правильных решений воспользуемся уравнением

$5x^{2} +xy =51\\xy =51-5x^{2}$

Подставляя вместо $x^{2}$ его значения 9 и $\frac{289}{28}$, определяем, что $xy>0$

Значит x и y должны быть одного знака.

Ответ:

(3;2)

(-3;-2)

$(\frac{17}{2\sqrt{7}};\frac{1}{2\sqrt{7}} )$

$(-\frac{17}{2\sqrt{7}};-\frac{1}{2\sqrt{7}} )$