Question

Решить систему методом Крамера и матричным методом

Answer 1

Объяснение:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&2\\1&3&-1\\4&1&3\end{array}\right)\\B=\left(\begin{array}{ccc}7\\1\\7\end{array}\right)\\ X=\left(\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) .\\A*X=B\ \ \ \ \Rightarrow\\X=\frac{B}{A} =A^{-1}*B.$

Найдём определитель матрицы:

$\Delta=2*(3*3-1*(-1))-3*(1*3-4*(-1))+2*(1*1-4*3)=\\=2*(9+1)-3*(3+4)+2*(1-12)=2*10-3*7-2*11=\\=20-21-22=-23.$

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A⁻¹ существует.

Найдем минор M₁₁ и алгебраическое дополнение A₁₁:

$M_{11}=\left(\begin{array}{ccc}3&-1\\1&3\\\end{array}\right)=3*3-1*(-1)=9+1=10.\\A_{11}=(-1)^{1+1}*M_{11}=(-1)^2*10=1*10=10.$

$M_{12}=\left(\begin{array}{ccc}1&-1\\4&3\\\end{array}\right)=1*3-4*(-1)=3+4=7.\\A_{12}=(-1)^{1+2}*7=(-1)^3*7=-7.$

$M_{13}=\left(\begin{array}{ccc}1&4\\3&1\\\end{array}\right)=1*1-3-4=1-12=-11.\\A_{13}=(-1)^{1+3}*(-11)=-11.$

$M_{21}=\left(\begin{array}{ccc}3&1\\2&3\\\end{array}\right) =9-2=7.\\A_{21}=(-1)^{2+1}*7=-7.$

$M_{22}=\left(\begin{array}{ccc}2&2\\4&3\\\end{array}\right)=6-8=-2\\A_{22}=(-1)^{2+2}*(-2)=-2.$

$M_{23}=\left(\begin{array}{ccc}2&3\\4&1\\\end{array}\right)=2-12=-10\\A_{23}=(-1)^{2+3}*(-10)=10.$

$M_{31}=\left(\begin{array}{ccc}3&2\\3&-1\\\end{array}\right)=-3-6=-9\\A_{31}=(-1)^{3+1}*(-9)=-9.$

$M_{32}=\left(\begin{array}{ccc}2&2\\1&-1\\\end{array}\right) =-2-2=-4\\A_{32}=(-1)^{3+2}*(-4)=4.$

$M_{33}=\left(\begin{array}{ccc}2&3\\1&3\\\end{array}\right)=6-3=3\\A_{33}=(-1)^{3+3}*3=3.$

Выпишем матрицу алгебраических дополнений (союзную матрицу):

$C^*=\left(\begin{array}{ccc}10&-7&-11\\-7&-2&10\\-9&4&3\end{array}\right).$

Транспонируем матрицу алгебраических дополнений (меняем между собой 3-ю строку и 3-й столбец):

$C^{*T}=\left(\begin{array}{ccc}10&-7&-9\\-7&-2&4\\-11&10&3\end{array}\right).$

Теперь найдем обратную матрицу:

$A^{-1}=\frac{C^{*T}}{\Delta}= \left(\begin{array}{ccc}\frac{10}{23} &-\frac{7}{23} &-\frac{9}{23} \\-\frac{7}{23} &-\frac{2}{23} &\frac{4}{23} \\-\frac{11}{23} &\frac{10}{23} &\frac{3}{23} \end{array}\right) .$

Таким образом:

$X=A^{-1}*B= \left(\begin{array}{ccc}-\frac{10}{23} &\frac{7}{23} &\frac{9}{23} \\\frac{7}{23} &\frac{2}{23} &-\frac{4}{23} \\\frac{11}{23} &-\frac{10}{23} &-\frac{3}{23} \end{array}\right) *\left(\begin{array}{ccc}7\\1\\7\end{array}\right)=\\= \left(\begin{array}{ccc}-\frac{10}{23}*7 &\frac{7}{23}*1 &\frac{9}{23} *7\\\frac{7}{23}*7 &\frac{2}{23}*1 &-\frac{4}{23}*7 \\\frac{11}{23}*7 &-\frac{10}{23} *1&-\frac{3}{23}*7 \end{array}\right) =$

$= \left\{\begin{array}{ccc}\frac{-70}{23} +\frac{7}{23} +\frac{63}{23}=0 \\\frac{49}{23} +\frac{2}{23} -\frac{28}{23}=1 \\ \frac{77}{23} -\frac{10}{23} -\frac{21}{23}=2 \end{array}\right ..\\X=\left(\begin{array}{ccc}0\\1\\2\end{array}\right).$

Ответ: x₁=0, x₂=1, x₃=2.