Question

многочлен f(x)=x³+ax²+bx+c при делении на x+1 дает остаток 18 а на x-2 делится без остатка
найдите корни многочлена
​

Answer 1

Разделим данный многочлен на двучлен x + 1 и остаток приравняем к 18:

$x^3 + ax^2 + bx + c = (x+1)(x^2+(a-1)x+b-a+1) + a - b + c - 1 => a - b + c - 1 = 18 => a - b + c = 19$

Теперь разделим этот же многочлен на x - 2:

$x^3 + ax^2 + bx + c = (x-2)(x^2+(a+2)x+2a+b+4) + 4a + 2b+c+8 => 4a + 2b +c+8 = 0 => 4a+2b+c = -8$

Получается система из двух уравнений с тремя неизвестными:

$\left \{ {{a-b+c=19} \atop {4a+2b+c=-8}} \right. => \left \{ {{a+b =-9} \atop {a-b+c=19}} \right. => \left \{ {{a+b=-9} \atop {a+b-2b+c=19}} \right. => \left \{ {{a+b=-9} \atop {c-2b=28}} \right. => \left \{ {{a = -b-9} \atop {c=28+2b}} \right. , b \in R$

Берем любое b, для него находим a и c, и решаем соответствующее кубическое уравнение. Например, пусть b = -4, тогда a = -5, а c = 20.

$f(x) = x^3 -5x^2-4x+20 = (x-2)(x+2)(x-5)=0 => x_1 = -2, x_2 = 2, x_3 = 5$