Question

1. Выполните чертеж куба MKLPM1K1L1P1. По чертежу укажите:

а) прямые параллельные для прямой MK;

б) прямые скрещивающиеся с прямой LL1;

в) плоскости параллельные прямой PL.

Пересекаются ли прямые

K1P и KL?

K1P и M1L1?

KL линией пересечения каких плоскостей является

Найти:

3 пары параллельных прямых,

3 пары скрещивающихся прямых,

3 пары пересекающихся прямых.

Найти S∆MKL, а S∆AKB=8 где A – середина MK, B-середина KL

2. Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M1.

а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

Answer 1

Ответ:

1.

а) MK ║ PL ║ M₁K₁ ║ P₁L₁

б) прямые, скрещивающиеся (не лежащие в одной плоскости) с прямой LL₁:

МК, МР, МК₁, МР₁

в) PL ║ (MM₁K), PL ║ (M₁K₁P₁)

________

Прямые К₁Р и KL не пересекаются.

Прямые К₁Р и M₁L₁ не пересекаются.

________

Прямая KL является линией пересечения плоскостей (МКL) и (KLL₁).

________

3 пары параллельных прямых:

MK ║ PL, MM₁ ║ KK₁, M₁P₁ ║ K₁L₁

3 пары скрещивающихся прямых:

МК и РР₁, МР и КК₁, PL и ММ₁

3 пары пересекающихся прямых:

МК ∩ МР = М,  РР₁ ∩ PL = P,  LL₁ ∩ LK = L

________

S_{ABK} = 8

А - середина МК, В - середина KL, значит АВ - средняя линия треугольника MKL.

Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия k = 1/2. Значит,

ΔАКВ ~ ΔMKL

$k=\dfrac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\dfrac{S_{AKB}}{S_{MKL}}=k^2=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{8}{S_{MKL}}=\dfrac{1}{4}$

$\boldsymbol{S_{MKL}}=8\cdot 4\boldsymbol{=32}$

2.

а) Через две пересекающиеся прямые АВ и АА₁ проходит плоскость (АА₁В). Прямая АВ лежит в этой плоскости, значит и точка М так же лежит в ней.

В этой плоскости через точку М можно провести единственную прямую, параллельную прямой АА₁. Значит, прямая ММ₁ лежит в плоскости (АА₁В).

Плоскость (АА₁В) пересекает плоскость α по прямой ВА₁, на которой лежат все их общие точки, значит и точка М₁.

Итак, точки А₁, М₁ и В лежат на одной прямой.

б) АА₁ : ММ₁ = 3 : 2

В треугольнике АВА₁ проведена прямая ММ₁, параллельная стороне АА₁, значит она отсекает треугольник, подобный данному.

ΔВММ₁ ~ ΔВАА₁

$\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AA_1}{MM_1}$

Пусть ВМ = х, тогда

АВ = ВМ + МА = х + 6

$\dfrac{x+6}{x}=\dfrac{3}{2}$

3x = 2(x + 6)

3x = 2x + 12

x = 12

AB = 12 + 6 = 18