Question

Помогите пожалуйста, математика 8 класс
ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Так как ABCD – прямоугольник по условию, то угол CDA=90°, тогда ∆ACD прямоугольный с прямым углом D.

Угол ACD=60° по условию;

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то угол CAD=90°–ACD=90°–60°=30°.

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы.

Тогда AC=2CD;

CD=30 по условию, тогда:

АС=2*30=60.

Проведём BD, назовем точки как отмечено на рисунке.

FC/BF=CM/MD;

Тогда по обратной теореме Фалеса FM//BD.

Тогда по теореме Фалеса:

FC/BF=RC/OR

Так как FC=BF по условию, то их отношение 1, тогда

RC/OR=1

RC=OR.

Тогда CO=2RO

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, тогда AC=2CO

Тогда АС=2(2RO)=4RO

RO=¼AC

RO=¼*60=15

BE/EA=DN/NA, тогда по обратной теореме Фалеса: EN//BD.

Тогда по теореме Фалеса:

BE/EA=OV/VA

Так как ВЕ=ЕА, то их отношение равно 1, тогда:

OV/VA=1

OV=VA

AO=2OV

AC=2AO=2(2OV)=4OV

OV=¼AC

OV=¼*60=15

VR=VO+OR=15+15=30

Так как FM//BD и EN//BD, то FM//EN, тогда VN//RM

AN//ND=CM//MD;

Тогда по обратной теореме Фалеса:

NM//AC, тогда VR//NM.

Исходя из VR//NM и VN//RM, VRMN – параллелограмм, тогда NM=VR=30.

AB=CD по условию;

AD– общая сторона.

Угол BAD=угол CDA (углы прямоугольника, значит оба прямые)

Тогда ∆BAD=∆CDA

Тогда угол ABD=угол DCA=60°

AB=30

Тогда аналогично доказываем EN=30.

Тогда NM=EN

По теореме Вариньона: если вершины четырехугольника лежат на серединах сторон другого четырехугольника, то данный четырехугольник параллелограмм.

Тогда EFMN – параллелограмм.

Но так как NM=EN, то EFMN – ромб.

Тогда P(ромба)=а*4

Р(EFMN)=ЕN*4

Р(EFMN)=120.

Ответ: 120.