Question

Доказать равенства, пользуясь соответствующим определением предела
(ничего не понял из этой темы, поэтому требуется помощь, желательно расписать подробно)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle 1)\, \lim_{x\to\infty}\frac{5n+n^2}{3-7n}=\lim_{x\to\infty}\frac{(5n+n^2)}{(3-7n)}=\lim_{x\to\infty}\frac{n^-^2(5n+n^2)}{n^-^2(3-7n)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1{n^2}(5n+n^2)}{\frac1{n^2}(3-7n)}=-\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1{n^2}*5n+\frac1{n^2}*n^2}{\frac1{n^2}*3-\frac1{n^2}*7n}=-\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{5n}{n^2}+\frac{n^2}{n^2}}{\frac3{n^2}-\frac{7n}{n^2}}=-\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{5}{n}+1}{\frac3{n^2}-\frac{7}{n}}=-\frac{\frac{5}{\infty}+1}{\frac3{\infty^2}-\frac{7}{\infty}}=$

$\displaystyle- \frac{0+1}{0-0}=-\frac{1}0=-\infty$

По определению: $\displaystyle\forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\Rightarrow \frac{5n+n^2}{3-7n}<-\varepsilon\\\forall\varepsilon>0:\frac{5n+n^2}{3-7n}<-\varepsilon\Leftrightarrow\frac{5n+n^2}{3-7n}>\varepsilon\Leftrightarrow5n+n^2>3\varepsilon-7n\varepsilon\\\beth N=\frac{-5+7\varepsilon+\sqrt{(5+7\varepsilon)^2+12\varepsilon}}{2}, \because\varepsilon>0\, \wedge\, -5>7>7\varepsilon\Rightarrow (5+7\varepsilon)^2+12\varepsilon>0.\because\forall n\geq N,\frac{5n+n^2}{3-7n}<-\varepsilon$

ЧТД

$\displaystyle 2)\, \lim_{n \to \infty}\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt n}(3-2\sqrt n)}{\frac{1}{\sqrt n}(1-5\sqrt n)}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{3}{\sqrt n}-\frac{2\sqrt n}{\sqrt n}}{\frac{1}{\sqrt n}-\frac{5\sqrt n}{\sqrt n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{3}{\sqrt n}-2}{\frac{1}{\sqrt n}-5}=\frac{\frac3{\infty}-2}{\frac1{\infty}-5}=\frac{0-2}{0-5}=\frac{-2}{-5}=\frac25$

По определению:

$\displaystyle\forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\Rightarrow \left |\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25\right|<\varepsilon\\\forall\varepsilon>0: \left |\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25\right|<\varepsilon\Leftrightarrow-\varepsilon<\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25<\varepsilon\\\beth t = \sqrt n:\\-\varepsilon<\frac{3-2t}{1-5t}-\frac{2(1-5t)}{5(1-5t)}<\varepsilon\\-\varepsilon<\frac{3-2t-2+10t}{1-5t}<\varepsilon$

$\displaystyle-\varepsilon<\frac{1-8t}{1-5t}<\varepsilon\\\left [ {{1-8t=\varepsilon-5\varepsilon t} \atop {1-8t=-\varepsilon+5\varepsilon t}} \right. \\\left [ {{-8t+5\varepsilon t=\varepsilon-1} \atop {-8t-5\varepsilon t=-\varepsilon-1}} \right. \\\left [ {{t=\frac{\varepsilon-1}{-8-5\varepsilon}} \atop {t=\frac{-\varepsilon-1}{-8-5\varepsilon}}} \right.$

$\displaystyle \beth N=\left | {{t=\frac{\varepsilon-1}{-8-5\varepsilon}} \atop {t=\frac{-\varepsilon-1}{-8-5\varepsilon}}} \right.:\\\because\forall n > 0 : \sqrt{n} >0, \forall n\geq N, \left |\frac{3-2\sqrt n}{1-5\sqrt n}-\frac25\right |<\varepsilon$

ЧТД