Question

Решите уравнение:
${x}^{2} - { \sin(y) }^{2} = 2x \cos(y) - 1 - {y}^{2}$
​

Answer 1

$x^2-\sin^2y=2x\cos y-1-y^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2-\sin^2y-2x\cos y+1+y^2=0$

С помощью основного тригонометрического тождества заменим квадрат синуса:

$x^2-(1-\cos^2y)-2x\cos y+1+y^2=0$

$x^2-1+\cos^2y-2x\cos y+1+y^2=0$

$x^2-2x\cos y+\cos^2y+y^2=0$

Заметим, что первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата разности:

$(x-\cos y)^2+y^2=0$

Квадрат любого числа есть величина неотрицательная. Значит и сумма двух квадратов - величина неотрицательная. Но в данном случае эта сумма равна нулю. Это возможно только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю:

$\begin{cases} (x-\cos y)^2=0 \\ y^2=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x-\cos y=0 \\ \boxed{y=0} \end{cases}$

Выразим из первого уравнения х и подставим найденное значение у:

$x=\cos y$

$x=\cos 0$

$\boxed{x=1}$

Таким образом, решением является пара чисел (1; 0).

Ответ: (1; 0)